Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке
функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x [2].
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку
; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0≤ arccos a ≤π.
Например, arccos, так как cos
и
; arccos
, так как cos
и
.
Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок
. На отрезке
функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y=cos х – непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке
); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(–1)= π, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 =
. График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(–x) = π–arccos x.
В самом деле, по определению 0 ≤ arcсos х ≤ π. Умножая на (–1) все части последнего двойного неравенства, получаем – π ≤ arcсos х ≤ 0. Прибавляя π ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0≤ π–arccos х ≤ π.
Таким образом, значения углов arccos(–х) и π – arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке
косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(–х) и π–arccos х. По определению cos (arccos x) = – x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (π – – arccos х) = – cos (arccos х)= – х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
Педагогические идеи античных философов: Аристотель, Демокрит,
Платон, Сократ
Древнегреческая цивилизация дала миру немало превосходных философов, в концепции которых вплетены бесценные мысли о воспитании. Аристотель (384-322 гг. до н. э.) поднимал наставника на самую высокую ступень в обществе: Он создал в Афинах учебное заведение Ликей, которым руководил в течение двенадца ...
Проблема развития креативности младших школьников
Креати́вность (от англ. create – создавать, творить) – творческие способности индивида, характеризующиеся готовностью к принятию и созданию принципиально новых идей, отклоняющихся от традиционных или принятых схем мышления и входящие в структуру одарённости в качестве независимого фактора, а т ...
Особенности региональной политики в деле реализации приоритетного
национального проекта «Образование»
Оценивая практику реализации нацпроекта «Образование», Президент РФ Д.А. Медведев в одном из своих недавних выступлений перед телевизионной общественностью отметил, что результаты проделанной на данный момент работы близки к созданию основной, базовой модели развития образования, бюджетной модели о ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.