Педагогика и образование » Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры » Функция, обратная косинусу

Функция, обратная косинусу

Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.

Рис. 2

Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x [2].

Определение

Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку ; его обозначают arccos а.

Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0≤ arccos a ≤π.

Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи .

Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y=cos х – непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(–1)= π, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .

Рис. 3

Покажем, что имеет место равенство arccos(–x) = π–arccos x.

В самом деле, по определению 0 ≤ arcсos х ≤ π. Умножая на (–1) все части последнего двойного неравенства, получаем – π ≤ arcсos х ≤ 0. Прибавляя π ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0≤ π–arccos х ≤ π.

Таким образом, значения углов arccos(–х) и π – arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(–х) и π–arccos х. По определению cos (arccos x) = – x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (π – – arccos х) = – cos (arccos х)= – х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.

Еще по теме:

Характеристика Средневековья. Церковное воспитание
Средние века – это значительная эпоха в развитии человеческой культуры и цивилизации, которая продолжалась около двенадцати столетий – с V ...

Назначение и место учебного предмета в структуре, подготовке квалифицированных рабочих
Значение темы в курсе. Изучение данной темы в курсе "информатики" старших классов связано с тем, что Excel является наиболее расп ...

Принципы ученического самоуправления
Под принципами деятельности мы понимаем те ее основания, которые определяют главные направления, всю систему функционирования органов учени ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.directeducation.ru