Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Вошедшая во всеобщее употребление система аксиом натуральных чисел была предложена итальянским математиком и логиком, профессором Туринского университета Джузеппе Пеано (1858-1932) в статье «О понятии числа», опубликованной в 1891 г. Вот как формулировал Пеано свои пять аксиом:
О есть натуральное число.
Следующее за натуральным числом есть натуральное число.
О не следует ни за каким натуральным числом.
Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.
Аксиома полной индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Итак, с аксиоматической точки зрения мы имеем дело с двумя основными понятиями: «натуральные числа» (объект) и «непосредственно следует за» (соотношение). Эти понятия косвенно определяются системой аксиом.
Излагаемая в настоящее время в учебных руководствах система аксиом натуральных чисел лишь по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа — это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:
Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом, т. е. для любого а имеем: а*¹1.
Для каждого натурального числа а существует одно и только одно непосредственно за ним следующее натуральное число а*, т.е. а = b ® а* = b*.
Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом, т. е. если а¹1, то из а*=b*®а=b.
Аксиома индукции. Пусть М — подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число а принадлежит М, то а* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е. М совпадает с N.
То, что в первоначальной формулировке (Пеано) первый элемент есть 0, а не 1, не имеет принципиального значения. Дело в том, что в настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам. Символы 1, 2, 3, ., которыми обычно обозначают натуральные числа, были выработаны, как мы уже знаем, на протяжении веков. На основе аксиом 1—4 можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе аксиомы 4 доказывается следующее предложение: если некоторая теорема Т, в формулировку которой входит натуральное число n, верна для n=1 и в предположении, что она верна для n, будет верна и для n+1, то Т верна для любого натурального числа. Это предложение, эквивалентное аксиоме 4, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии. Под индукцией (от латинского inductio — наведение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.
Общее понятие микроклимата как более частное понятие
социально-психологического климата
Определение социально психологического климата, данное А.В. Петровским достаточно широко и относится к общему понятию. Данный термин используется для определения общности любого порядка, т.е. и к обществу в целом и к школе. Словом "микроклимат" мы будем обозначать социально - психологичес ...
Наглядные методы производственного обучения
а) Демонстрация объектов и наглядных пособий Представляют собой метод наглядно - чувственного ознакомления с изучаемыми предметами, явлениями. Процессами. Однако не следует перегружать занятий чересчур большим количеством демонстраций. Наглядные пособия могут быть натуральными, представляющими разл ...
Лингвистические и психолингвистические основы изучения связной речи
Речь является основным средством человеческого общения. Без нее человек не имел бы возможности получать и передавать большое количество информации, в частности такую, которая несет большую смысловую нагрузку или фиксирует в себе то, что невозможно воспринять с помощью органов чувств (абстрактные по ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.