Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике

Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида (конец IV – III в. до н. э.). Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, b так, что отношение величин будет равно отношению отрезков а:b. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса (около 408 - около 355 до н. э.), или аксиомой Евдокса — Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома которая является одной из аксиом непрерывности.

Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С, D, если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:

тА<пВ и тС<пD;

тА = пВ и тС = пD;

тА>пВ и тC>пD.

Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А:В и В:С — значит найти отношение А:С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а:b и с:d, требуется предварительно найти отношение b:x, равное с:d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с, d, b четвертого пропорционального отрезка x. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом. Последний, возражавший против определения равенства отношений Евдокса, ссылался на следующий пример. Для чисел 4; 3 и 5; 4, т=6, п=9 имеет место неравенство

6·4<9·3 и 6·5<9·4,

но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4. Рамус не учел, что речь идет не об определенной одной паре или о конечном числе пар натуральных чисел т, п, а о произвольной паре. Достаточно в данном случае взять т=6, п=8, чтобы получить:

6·4=8·3,

в то время как 6·5<8·4.

Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда (1831-1916). И метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин, т. е. в конечном итоге на идее потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов, которым пользуемся и мы. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения.

В итоге можно сказать, что идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике главным образом в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросами измерения и исследования свойств геометрических фигур, рассматриваемых как непрерывные.