Педагогика и образование » Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики » Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике

Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике

Заработок на криптовалютах по сигналам. Больше 100% годовых!

Заработок на криптовалютах по сигналам

Трейдинг криптовалют на полном автомате по криптосигналам. Сигналы из первых рук от мощного торгового робота и команды из реальных профессиональных трейдеров с опытом трейдинга более 7 лет. Удобная система мгновенных уведомлений о новых сигналах в Телеграмм. Сопровождение сделок и индивидуальная помощь каждому. Сигналы просты для понимания как для начинающих, так и для опытных трейдеров. Акция. Посетителям нашего сайта первый месяц абсолютно бесплатно.

Обращайтесть в телеграм LegionCryptoSupport

Страница 2

Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида (конец IV – III в. до н. э.). Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, b так, что отношение величин будет равно отношению отрезков а:b. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса (около 408 - около 355 до н. э.), или аксиомой Евдокса — Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома которая является одной из аксиом непрерывности.

Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С, D, если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:

тА<пВ и тС<пD;

тА = пВ и тС = пD;

тА>пВ и тC>пD.

Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А:В и В:С — значит найти отношение А:С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а:b и с:d, требуется предварительно найти отношение b:x, равное с:d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с, d, b четвертого пропорционального отрезка x. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом. Последний, возражавший против определения равенства отношений Евдокса, ссылался на следующий пример. Для чисел 4; 3 и 5; 4, т=6, п=9 имеет место неравенство

6·4<9·3 и 6·5<9·4,

но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4. Рамус не учел, что речь идет не об определенной одной паре или о конечном числе пар натуральных чисел т, п, а о произвольной паре. Достаточно в данном случае взять т=6, п=8, чтобы получить:

6·4=8·3,

в то время как 6·5<8·4.

Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда (1831-1916). И метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин, т. е. в конечном итоге на идее потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов, которым пользуемся и мы. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения.

В итоге можно сказать, что идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике главным образом в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросами измерения и исследования свойств геометрических фигур, рассматриваемых как непрерывные.

Страницы: 1 2 3

Еще по теме:

Интегрированный урок как способ активизации познавательной деятельности учащихся
Познавательная деятельность ребёнка возможна лишь там, где созданы определённые условия для её развития. И в этом огромную роль играет интеграция учебного процесса. Интегрированный урок отличается от традиционного использованием межпредметных связей, которые предусматривают лишь эпизодическое включ ...

Использование блок-таблиц и структурно-логических схем
Готовясь к урокам, учителю необходимо видеть весь готовый курс истории, в общем, и четко описывать связи между темами. Для этого необходимо "стиснуть", весь учебный материал, систематизировать и обобщить его, а затем выдать ученикам с помощью блок-таблиц, или структурно-логических схем. Э ...

Роль братских школ в формировании самосознания белорусов
Первая братская школа появилась во Львове в 1586 году. Тогда же был составлен устав этой школы, замечательный педагогический документ, заимствованный другими братскими школами Украины и Белоруссии. В ближайшие десятилетия возникли Виленская, Брестская, Могилевская, Луцкая, Киевская и многие другие ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved 0.0298