Педагогика и образование » Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры » Общетеоретические основы темы «Обратные тригонометрические функции»

Общетеоретические основы темы «Обратные тригонометрические функции»

Страница 1

Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому соответствует единственный. В этом случае обратное соотношение между Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f –1. Отметим, что D(f)=E(f –1)=X; E(f)=D(f –1)=Y.

x1 y1

x2 y2

x3 y3

Рис. 1

Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f).

Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует, если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87 гг. Для городских школ это невозможно.

Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f –1 с областью определения D(f –1)=R и множеством значений E(f –1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение. Получим . В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции – через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде . Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f–1(x) симметричны относительно прямой y=x – биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует обратная функция f –1 c областью определения D(f –1)= и множеством значений E(f –1)= . Для записи обратной функции решим уравнение y=x2 при условии х≥0. Получим (арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается формулой.

Соотношение x=sin y позволяет с помощью таблиц найти как x по данной величине y, так и y по данной величине x (не превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи y= (arcsin читается «арксинус»). Например, вместо1/2=sin 30° можно написать 30°=arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут π/6= arcsin (1/2).

Хотя эта запись представляет лишь «пересказ» записи 1/2=sin π/6, но учащимся она на первых порах доставляет затруднения. Между тем учащийся не видит трудности, когда наряду с соотношением 23 =8 пишет 2=. Это происходит потому, что извлечение корня совершается по одним правилам, а возведение в степень по другим, и учащийся привыкает видеть здесь 2 разных действия. Нахождение же синуса по углу и угла по синусу совершаются по одним и тем же таблицам, в которых к тому же выделено название «синус», а «арксинус» не упоминается. Поэтому никакого особого действия, результатом которого был бы арксинус, учащийся не усматривает; и вообще в пределах элементарной математики, введение этого понятия по существу не оправдывается. В высшей же математике арксинус часто появляется как необходимый результат некоторого действия (интегрирования), и именно здесь возникло понятие арксинуса и его обозначение.

Страницы: 1 2

Еще по теме:

Основные методы психодиагностики и их классификация
В настоящее время созданы и применяются на практике множество психодиагностических методов. В начале ХХ в. в психодиагностике как науке были признаны и приняты требования, предъявляемые к наиболее развитым современным наукам, например физике. Это требования операционализации и верификации. Операцио ...

Воспитательная деятельность как фактор становления ценностных ориентаций учащихся
Сущность, структура воспитательной деятельности Педагогическая деятельность представляет собой особый вид социальной деятельности, направленной на передачу от старших поколений младшим накопленных человечеством культуры и опыта, создание условий для их личностного развития и подготовку к выполнению ...

Содержание учебно-воспитательной работы по развитию согласованных действий у детей шестого года жизни в строительной игре и на занятиях по конструированию
Для выявления причин несформированности согласованных действий в процессе строительной деятельности у детей 6 года жизни мы исследовали педагогические условия организации этой деятельности в подготовительной группе. Для этого проанализировали работу воспитателей и предметной среды, созданной в данн ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2022 - All Rights Reserved 0.6827