Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому соответствует единственный
. В этом случае обратное соотношение между Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f –1. Отметим, что D(f)=E(f –1)=X; E(f)=D(f –1)=Y.
x1 y1
x2 y2
x3 y3
Рис. 1
Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f).
Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует, если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87 гг. Для городских школ это невозможно.
Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f –1 с областью определения D(f –1)=R и множеством значений E(f –1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение. Получим
. В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции – через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде
. Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f–1(x) симметричны относительно прямой y=x – биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения этой функции множеством D(f)=
, то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= =
будет взаимно однозначным, и существует обратная функция f –1 c областью определения D(f –1)=
и множеством значений E(f –1)=
. Для записи обратной функции решим уравнение y=x2 при условии х≥0. Получим
(арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается формулой
.
Соотношение x=sin y позволяет с помощью таблиц найти как x по данной величине y, так и y по данной величине x (не превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи y= (arcsin читается «арксинус»). Например, вместо1/2=sin 30° можно написать 30°=arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут π/6= arcsin (1/2).
Хотя эта запись представляет лишь «пересказ» записи 1/2=sin π/6, но учащимся она на первых порах доставляет затруднения. Между тем учащийся не видит трудности, когда наряду с соотношением 23 =8 пишет 2=. Это происходит потому, что извлечение корня совершается по одним правилам, а возведение в степень по другим, и учащийся привыкает видеть здесь 2 разных действия. Нахождение же синуса по углу и угла по синусу совершаются по одним и тем же таблицам, в которых к тому же выделено название «синус», а «арксинус» не упоминается. Поэтому никакого особого действия, результатом которого был бы арксинус, учащийся не усматривает; и вообще в пределах элементарной математики, введение этого понятия по существу не оправдывается. В высшей же математике арксинус часто появляется как необходимый результат некоторого действия (интегрирования), и именно здесь возникло понятие арксинуса и его обозначение.
Этиология и клинические варианты общего недоразвития речи
Этиология общего недоразвития речи может быть различна и соответственно этому будет различна структура аномальных проявлений. Нередко причиной общего недоразвития речи является слабость акустико-гностических процессов. В этих случаях при сохранном слухе наблюдается пониженная способность к восприят ...
Мыслительная деятельность как основа
интеллектуальных способностей младших школьников
Интеллектуальные способности младших школьников и не только их, но и любого индивидуума, – это способности к продуктивной мыслительной деятельности. Чтобы понять это, попробуем разобраться, что же такое мышление, как психологическая категория. Наше познание объективной действительности начинается с ...
Методы изучения коллективных явлений
Процессы воспитания, образования, обучения имеют коллективный (групповой) характер. Наиболее часто применяемые методы их изучения — массовые опросы участников данных процессов, проводимые по определенному плану. Эти вопросы могут быть устными (интервью) или письменными (анкетирование). Широко испол ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.