Функция, обратная синусу

Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [–π/2;π/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [–1; 1]. Значит, на отрезке [– π/2; π/2] определена функция, обратная функции y=sin x.

Рис. 6

Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а.

Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [–π/2; π/2]; его обозначают arcsin а.

Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ≤1; –π/2 ≤ arcsin а ≤ π/2. Например, , так как sin и [– π/2; π/2]; arcsin , так как sin = и [– π/2; π/2].

Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [– 1; 1], областью ее значений является отрезок [–π/2;π/2]. На отрезке [– 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от –π/2 до π/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [–π/2; π/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = π/2, а наименьшее – при х = –1: arcsin (–1) = –π/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].

Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (–х) = – arcsin х при любом х [– 1; 1].

Действительно, по определению, если |x| ≤1, имеем: – π/2 ≤ arcsin x ≤ ≤ π/2. Таким образом, углы arcsin (–х) и – arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [– π/2; π/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(–х)) = – х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (–arcsin х)= – sin (arcsin x)= – х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [–π/2; π/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (–х)= – arcsin х. Значит, функция y=arcsin x – нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.

Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [–π/2; π/2].

Действительно, по определению –π/2 ≤ arcsin (sin x) ≤ π/2, а по условию –π/2 ≤ x ≤ π/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х.

Рис. 7

Рис. 8

График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x–p/4|) получается из него сдвигом на p/4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)