Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школы

a = 1 ⇒x1 ≥ 1;

a > 1 ⇒x = 1.

Приложение. Список задач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятий по данной теме

Ниже предлагаются задачи с параметрами разного уровня сложности, для слабых и сильных учеников. Задачи с повышенной сложностью будут отмечены значком *.

Линейные уравнения

1. Решить уравнение при всех значениях параметра.

c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?

Ответ: х = с - 4,

⇒ .

2. Решить уравнение при всех значениях параметра.

x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)

Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.

3. Решить уравнение при всех значениях параметра.

b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)

Ответ:

4. При каких значениях параметра а уравнение (а2 - 6а + 5) = а - 1 имеет

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней?

Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;

2) а = 5;

3) а = 1.

Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 11).

5. (2 - х)а = х + 1.

Ответ: а ≠ -1 ⇒ x = (2a - 1)/(1+a).

6. (а2 - 1)х = а + 1.

Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).

7.

Ответ: если а = 1 ⇒ ∅;

если а ≠ 1 ⇒ х = а.

8.

Ответ: если а = -2 ⇒ ∅;

если а ≠ -2 ⇒ x = 2.

9.

Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = (а + 8)/3.

10.

Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = 6/(4 - а).

11*.

Ответ: если а = 0 ⇒ R\{2};

если а = 1 ⇒ R\{2};

если а ≠ 0, а ≠ 1 ⇒ ∅.

Линейные уравнения с модулем.

Решить уравнение при всех значениях параметра (№1 - 6).

1. |x + a| = 2.

Ответ:

x = -a ± 2.

2. |x + 2| = a.

Ответ:

a < 0 ⇒ ∅;

a = 0 ⇒ x = -2;

a > 0 ⇒ x = -2 ± a.

3. |x + a| = 2 - а.

Ответ:

a > 2 ⇒ ∅;

а = 2 ⇒ х = -2;

4*. |3x - c| = |x + 2|.

Ответ:

с = -6 ⇒ x = -2;

c ≠ -6 ⇒ x1 = 0,5(c + 2), x2 = 0,25(c - 2).

5*. |x + 3| - a|x - 1| = 4.

Ответ:

a ∈ (-1; 1) ⇒x1 = 1, x2 = (a + 7)/(a - 1);

a = 1 ⇒x1 ≥ 1;

a > 1 ⇒x = 1.

6*. |x - a| + |x - 2a| = 3a

Ответ:

a < 0 ⇒ ∅;

a = 0 ⇒ x = 0;

a > 0 ⇒ x1 = 3a, x2 = 0.

7. При каких значениях параметра а уравнение x + 2 = a|x - 2| имеет единственный корень? Найти это решение.

Ответ: a ∈ (-1; 1] ⇒x = (a - 2)/(a + 1).

(Возможен графический способ решения).

8. При каких значениях параметра b уравнение b|x - 3| = x + 1 имеет единственное решения? Найти это решение.

Ответ: b ∈ (-1; 1] ⇒x = (3b - 1)/(b + 1).

(Возможен графический метод решения).

9*. Выяснить, сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение

| x + 2 | = ax + 1.

Ответ: а = 0,5 ⇒

a ∈ (0,5; 1] ⇒∅;

а ∈ (1; +∞] ⇒ 1.

При каких значениях параметра а уравнение | x - a | - | 2x + 2 | = 3 имеет единственное решение? Найти это решение.

Ответ: a = -4, a = 2⇒ x = -1.

11*. При каких значениях параетра а уравнение | 2x + a | + 1 = | x + 3| имеет единственное решение?

Ответ: {-8; -4}.

12*. При всех а решить уравнение | x + 3 | - a| x - 1 | = 4. Определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Ответ: (1; +∞) при а = 1;

[-3; 1] при а = -1;

при а ∈ (-1; 1);

{1} при а ∈ (-∞; -1) ∪ (1; + ∞).

13*. Сколько решений имеет уравнение ax = |x| в зависимости от параметра?

Ответ:

а ≠ ±1 ⇒ х = 0;

а = 1 ⇒ х ∈ [0; +∞);

a = -1 ⇒ х ∈ (-∞; 0].

Линейные неравенства

1. Сравнить 3a и -а.

Ответ:

a < 0 ⇒ 3a < -a;

a = 0 ⇒ 3a = -a;

a > 0 ⇒ 3a > -a.

Для каждого значения параметра решить неравенство (№2 - 8).

2. cx > 2.

Ответ: с < 0 ⇒ x < 2/c;

a = 0 ⇒ ∅;

c > 0 ⇒ x > 2/c.

3. cx > -3.

Ответ: c < 0 ⇒ x < -3/c;

c = 0 ⇒ x ∈ R;

c > 0 ⇒ x > -3/c.

4. cx ≤ 2.

Ответ: c < 0 ⇒ x ≥ 2/c;

c = 0 ⇒ x ∈ R;

c > 0 ⇒ x ≤ 2/c.

5. (c - 2)x ≤ -5.

Ответ: с < 2 ⇒ x ≥ 5/(2 - c);

c = 2 ⇒ ∅;

c > 2 ⇒ x ≤ 5/(2 - c).

6. 3(2a - x) < ax + 1.