Педагогика и образование » Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики » Различные современные подходы к определению понятия «функция»

Различные современные подходы к определению понятия «функция»

Страница 1

Понятие функции часто встречается в школьном курсе математики и хорошо знакомо учащимся. Тем не менее на приемных экзаменах в вузах поступающие допускают много ошибок при использовании этого понятия. Объясняется это различными причинами, но в первую очередь тем, что слово «функция» используется в математике в нескольких смыслах, а в школьных учебниках это обстоятельство не разъяснено. Поэтому мы прежде всего обратимся к определению функции и другим относящимся сюда понятиям и подробно остановимся на тех различных пониманиях слова «функция», которые встречаются в школьном курсе математики.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции. Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В — множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В, что и в примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений—множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В. Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через О — множество всех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К, (т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого круга. Мы получаем функцию с областью определения К и областью значений D.

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через О—множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a1 и r и каждому натуральному числу п поставим в соответствие действительное число, равное п-му члену арифметической прогрессии с первым членом а, и разностью r (т. е. натуральному числу п поставим в соответствие действительное число a1+(n-1)r ). Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений D.

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество D всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a1 и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а1+(х-1)r. Мы получаем функцию с областью определения D и областью значений D.

Страницы: 1 2 3 4

Еще по теме:

Методическое обеспечение и организация формирующего эксперимента
На основании полученных данных мы разработали серию занятий, с целью повышения уровня сформированности нравственных представлений и поступков у младших школьников. Эти занятии должны приобрести форму доверительного и дружеского разговора, цель которого – не навязать детям ту или иную нравственную ц ...

Особенности восприятия детьми формы предметов и геометрических фигур
Одним из свойств окружающих предметов является их форма. Форма предметов получила обобщенное отражение в геометрических фигурах. Геометрические фигуры являются эталонами, пользуясь которыми человек определяет форму предметов и их частей. Проблему знакомства детей с геометрическими фигурами и их сво ...

Возникновение воспитания
Ребенок постоянно включен в те или иные формы общественной жизни; и если процесс общения ребенка и среды будет не организован, то воспитательное воздействие приобретет стихийный характер. Результаты такого воздействия могут быть весьма непредсказуемыми. Формирование человека как личности требует от ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2025 - All Rights Reserved 0.0159