Различные современные подходы к определению понятия «функция»

Понятие функции часто встречается в школьном курсе математики и хорошо знакомо учащимся. Тем не менее на приемных экзаменах в вузах поступающие допускают много ошибок при использовании этого понятия. Объясняется это различными причинами, но в первую очередь тем, что слово «функция» используется в математике в нескольких смыслах, а в школьных учебниках это обстоятельство не разъяснено. Поэтому мы прежде всего обратимся к определению функции и другим относящимся сюда понятиям и подробно остановимся на тех различных пониманиях слова «функция», которые встречаются в школьном курсе математики.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции. Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В — множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В, что и в примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений—множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В. Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через О — множество всех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К, (т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого круга. Мы получаем функцию с областью определения К и областью значений D.

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через О—множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a1 и r и каждому натуральному числу п поставим в соответствие действительное число, равное п-му члену арифметической прогрессии с первым членом а, и разностью r (т. е. натуральному числу п поставим в соответствие действительное число a1+(n-1)r ). Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений D.

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество D всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a1 и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а1+(х-1)r. Мы получаем функцию с областью определения D и областью значений D.