Различные современные подходы к определению понятия «функция»

y=, (6)

y= (7)

Почему же такие формулы называют «функциями» и не противоречит ли это понимание функции сказанному выше? Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться:

Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать, что

за область значений принимается все множество D действительных чисел;

за область определения принимается множество всех тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия, указанные в правой части;

если число а принадлежит области определения, то значение функции при х=а равно числу, получающемуся, если в правую часть подставить х=а и произвести указанные действия.

Итак, задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия.

Пример 7. Найти область определения функций (2) и (3); определить, совпадают ли эти функции.

Решение. Действия, указанные в правой части равенства (2), выполнимы при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции (2) является все множество D действительных чисел (или, иначе, бесконечный интервал -¥<х<¥). Функция (3) определена для всех действительных чисел х, кроме х=0, т. е. область определения этой функции получается выбрасыванием (или, как еще говорят, «выкалыванием») из множества D точки х=0. Можно описать область определения функции (3) и иначе: она представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-¥, 0) и (0, ¥).

Заметим, что при любом х¹0 значения функций (2) и (3) совпадают. Тем не менее (2) и (3)—различные функции, так как их области определения не совпадают.

Пример 8. Найти области определения функций (5),

Решение. Функция (5) определена для всех значений аргумента, кроме х=-2. Таким образом, область определения этой функции получается выкалыванием из числовой оси точки х=-2; иначе говоря, эта область определения является объединением двух бесконечных интервалов (-¥, -2) и (-2, ¥).

Область определения функции (6) состоит из всех точек, для которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. эта область определения задается неравенством 1+х³0, или х³-1. Иначе говоря, область определения функции (6) представляет собой бесконечный полуинтервал [-1,¥). Концевая точка х=-1 этого полуинтервала принадлежит области определения .

Наконец, область определения функции (7) состоит из всех значений х, для которых подкоренное выражение в правой части равенства (7) неотрицательно. Но если это подкоренное выражение отлично от нуля, то оно непременно отрицательно. Значит, область определения функции (7) состоит лишь из тех точек х, для которых подкоренное выражение обращается в нуль. Это будет при х=-5, х=-1 и х=2. Таким образом, область определения функции (7) состоит лишь из трех точек: -5, -1 и 2.

Пример 9. Найти область определения функции где f(х)= и g(x)=.