Педагогика и образование » Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики » График функции

График функции

Страница 5

Функция у=f(х) называется неубывающей на отрезке [а, b], если при а£х1£х2£b всегда f(x1)£f(x2); если при том же условии всегда f(x1)³f(x2), функция f(х) называется невозрастающей на отрезке [а,b]. Неубывающие и невозрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают целым рядом специальных свойств, которые делают их во многих случаях очень удобным орудием исследования.

Прежде всего всякая функция f(х), монотонная на данном, отрезке [а, b], ограничена на этом отрезке [как обычно, отрезок предполагается закрытым; для открытых отрезков утверждение неверно: функция у= монотонна, но не ограничена в открытом отрезке (0,1)]; в самом деле, при а£x£b f(х) заключено между f(a) и f(b); очевидно, далее, что гранями монотонной функции служат её значения f(а) и f(b) в концах данного отрезка; эти же числа служат наибольшим и наименьшим значениями монотонной функции f(х) в отрезке [а, b].

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4.

Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0).

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1)<f(x4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+Δx)<f(x0), т.е. f(x0+Dx)-f(x0)<0. Но тогда при Dx<0, при Dx>0.

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная f '(x0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx→0, получаем: при Δx→0–0 f '(x0)≥0 а при Δx→0+0 f '(x0)≤0. Так как f '(x0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x0)=0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную

Функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем, что f '(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x0 функция имеет экстремум.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Еще по теме:

Характеристика подросткового класса
Подростковый возраст настолько своеобразен и интересен (с точки зрения педагогики и психологии) для учителя, воспитателя, что есть определе ...

Ориентировка в пространстве и времени
Программа младшей группы предлагает учить детей различать пространственные направления от себя: впереди (вперед) — сзади (назад), слева (на ...

Формы и методы краеведческой работы с детьми
Одной из составляющих системы школьного краеведения являются организационные формы обучения. Существует три направления работы с учениками: ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.directeducation.ru