Число с, о котором говорится в определении ограниченности, выбирается сразу для всего множества М. В каждой отдельной точке этого множества, если функция в ней определена, такое число с существует тривиальным образом: для точки х достаточно положить, например, с=|f(x)|+1. Но функция, определённая, например, в каждой точке некоторого отрезка, может быть и неограниченной в этом отрезке; чтобы в этом убедиться, вспомним, что tgх возрастает безгранично при х®-0, так что функция
не ограничена в отрезке [0, ].
Как для многих интегральных свойств, можно, однако, и для ограниченности функции на данном отрезке указать такое локальное свойство, выполнение которого в каждой точке данного отрезка равносильно выполнению рассматриваемого интегрального свойства. Условимся называть функцию у ограниченной в точке х, если она ограничена в некоторой окрестности U числа х. Мы можем теперь утверждать, что для ограниченности функции у=f(х) на отрезке [а, b] (закрытом) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена в каждой точке этого отрезка. Необходимость этого условия вытекает из самих определений и не нуждается в доказательстве; чтобы, показать его достаточность, допустим, что каждое число х отрезка [а, b] может быть окружено окрестностью Ux, в которой функция у ограничена: применяя лемму Гейне-Бореля, мы находим, что отрезок [а, b] покрывается конечным числом отрезков = D1, D2, ., Dn) в каждом из которых у ограничена. Если |у|<Сi в отрезке Di (i=1, 2, ., п) и если с есть наибольшее из чисел с1, с2, ., сn, то |у|<с для всех хÎ[а, b], чем наше утверждение и доказано.
Условимся называть множество чисел N ограниченным, если все входящие в него числа могут быть заключены в некоторый отрезок. Очевидно, что ограниченность функции у=f(х) на множестве М равносильна ограниченности множества N значений, принимаемых этой функцией, когда величина х «пробегает» множество М, т. е. принимает всевозможные значения, принадлежащие этому множеству. Само собою ясно, что означают термины «множество N ограничено сверху (или справа)» и «множество N ограничено снизу (или слева)».
Условимся называть число b верхней гранью множества N, если: 1) множество N не содержит чисел, больших, чем b, и 2) в любой окрестности числа b найдётся число, принадлежащее этому множеству. Подобным же образом нижней гранью множества N мы назовём такое число a, что: 1) в множестве N нет чисел, меньших, чем a, и 2) в любой окрестности числа a найдётся число, принадлежащее множеству N. Очевидно, что множество, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, ограничено сверху (снизу).
Пример 14. Доказать, что функция f(х)= не является ограниченной сверху.
Решение. Нужно доказать, что для любого числа b существует (хотя бы одно) значение х из области определения функции, для которого f(x)b, т.е.
³b.
Область определения функции представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-¥, 1) и (1,¥). Очевидно, что если b£0, то неравенство
³b выполняется, например, при х=0. Если же b>0, то неравенство
³b в области определения функции
равносильно неравенству |х-1|£
,которое выполняется, например, при х=1+
, что и требовалось доказать.
Лабораторные работы как средство закрепления знаний, умений, навыков,
развития мышления и формирования интеллекта учащихся
Слушаю – забываю, Смотрю – запоминаю, Делаю – понимаю. Конфуций. Тенденции развития современного общества предъявляют новые требования к учебному процессу, в том числе и предметам естественного цикла. С одной стороны, изменяется содержание образования – увеличивается нагрузка на ученика, с другой – ...
Современные подходы в решении проблем социально-личностного развития
слепоглухих детей
Социально-личностное развитие ребенка является многогранным процессом, предполагающим присвоение культурных и нравственных ценностей общества, формирование личностных качеств, определяющих взаимоотношения с другими детьми и людьми, развитие самосознания, осознание своего места в обществе. В человеч ...
Особенности изучения темы
"Непредельные углеводороды" на уроках химии
В задачу изучения раздела "Непредельные углеводороды" входит закрепление на новом материале основных положений теории строения и рассмотрение понятий о кратных связях между атомами углерода и обусловливаемых ими химических свойствах органических соединений. Учащиеся узнают о новых типах х ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.