График функции

Число с, о котором говорится в определении ограниченности, выбирается сразу для всего множества М. В каждой отдельной точке этого множества, если функция в ней определена, такое число с существует тривиальным образом: для точки х достаточно положить, например, с=|f(x)|+1. Но функция, определённая, например, в каждой точке некоторого отрезка, может быть и неограниченной в этом отрезке; чтобы в этом убедиться, вспомним, что tgх возрастает безгранично при х®-0, так что функция

не ограничена в отрезке [0, ].

Как для многих интегральных свойств, можно, однако, и для ограниченности функции на данном отрезке указать такое локальное свойство, выполнение которого в каждой точке данного отрезка равносильно выполнению рассматриваемого интегрального свойства. Условимся называть функцию у ограниченной в точке х, если она ограничена в некоторой окрестности U числа х. Мы можем теперь утверждать, что для ограниченности функции у=f(х) на отрезке [а, b] (закрытом) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена в каждой точке этого отрезка. Необходимость этого условия вытекает из самих определений и не нуждается в доказательстве; чтобы, показать его достаточность, допустим, что каждое число х отрезка [а, b] может быть окружено окрестностью Ux, в которой функция у ограничена: применяя лемму Гейне-Бореля, мы находим, что отрезок [а, b] покрывается конечным числом отрезков = D1, D2, ., Dn) в каждом из которых у ограничена. Если |у|<Сi в отрезке Di (i=1, 2, ., п) и если с есть наибольшее из чисел с1, с2, ., сn, то |у|<с для всех хÎ[а, b], чем наше утверждение и доказано.

Условимся называть множество чисел N ограниченным, если все входящие в него числа могут быть заключены в некоторый отрезок. Очевидно, что ограниченность функции у=f(х) на множестве М равносильна ограниченности множества N значений, принимаемых этой функцией, когда величина х «пробегает» множество М, т. е. принимает всевозможные значения, принадлежащие этому множеству. Само собою ясно, что означают термины «множество N ограничено сверху (или справа)» и «множество N ограничено снизу (или слева)».

Условимся называть число b верхней гранью множества N, если: 1) множество N не содержит чисел, больших, чем b, и 2) в любой окрестности числа b найдётся число, принадлежащее этому множеству. Подобным же образом нижней гранью множества N мы назовём такое число a, что: 1) в множестве N нет чисел, меньших, чем a, и 2) в любой окрестности числа a найдётся число, принадлежащее множеству N. Очевидно, что множество, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, ограничено сверху (снизу).

Пример 14. Доказать, что функция f(х)= не является ограниченной сверху.

Решение. Нужно доказать, что для любого числа b существует (хотя бы одно) значение х из области определения функции, для которого f(x)b, т.е. ³b.

Область определения функции представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-¥, 1) и (1,¥). Очевидно, что если b£0, то неравенство ³b выполняется, например, при х=0. Если же b>0, то неравенство ³b в области определения функции равносильно неравенству |х-1|£,которое выполняется, например, при х=1+, что и требовалось доказать.