Функция у=f(х) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (т.е. если точка а принадлежит области определения, то точка -а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).
Функция у=f(х) называется нечетной, если:
область определения этой функции симметрична относительно точки 0;
2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=-f(-x).
Без труда проверяется, что функция y=|х| является четной. Точно так же функция у=х2n четна, а функция у=x2n+1 нечетна (при любом целом п). Без труда проверяется также, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций снова являются четными функциями. Далее, сумма и разность двух нечетных функций являются нечетными функциями. Наконец, произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями, а произведение и частное четной и нечетной функций являются нечетными функциями
Из сказанного следует, например, что многочлен, у которого все показатели четны, является четной функцией, а многочлен, у которого все показатели нечетны, является нечетной функцией. Так, функция y=х4+2х2-1 четна, а функция х3-х5 нечетна.
Не следует думать, что всякая функция непременно является или четной или нечетной: существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.
Пример 15. Доказать, что функция f(х)=2х+1 не является ни четной, ни нечетной.
Решение. Областью определения этой функции является вся числовая ось, т. е. условие 1) в определении четной и нечетной функций выполнено. Чтобы доказать, что функция f(х), не является четной, мы должны поэтому доказать, что условие 2) в определении четной функции не выполнено, т. е. что существует (хотя бы одно) значение х, для которого f(x)f(-x). Возьмем x=1. Тогда f(1)=3, f(-1)=-1, т.е. f(1)¹f(-1). Таким образом, функция f(х) не является четной. Аналогично, так как f(1)¹-f(-1), то функция f(x)=2x+1 не является нечетной.
Четность или нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции. Именно, имеют место следующие две теоремы:
Теорема. График четной функции симметричен относительно оси у.
Доказательство. Пусть точка (x0; y0) принадлежит графику четной функции у=f(х), т.е. у0=f(х0). Точка, симметричная с точкой у=f(х) относительно оси у, имеет координаты (-х0; у0). Надо доказать, что точка (-x0; y0) принадлежит графику функции у=f(х), т.е. доказать, что y0 =f(-х0). Но это следует из определения четной функции: f(-х0)=f(х0)=y0.
Теорема. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Замечание. Из этих теорем следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для х³0, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно оси у, т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно оси у. В частности, таким способом можно построить график функции y=f(|x|), так как функция f(|x|) является четной. Для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика этой функции для х³0, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно точки (0; 0), т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно начала координат. (Заметим, что для осуществления симметрии некоторой кривой относительно начала координат можно поступить следующим образом: сначала данную кривую К симметрично отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую К' симметрично отразить относительно оси абсцисс, рис. 10)
Формы и методы применения информационных технологий
в образовании
Информационные технологии выполняют в образовательном процессе двоякую роль: с одной стороны, они являются предметом изучения и практического освоения, а с другой - инструментальным средством, с помощью которого удается повысить результативность и эффективность изучения практически всех дисциплин у ...
Сборник игровых упражнений для
коррекции коммуникативных умений у детей младшего школьного возраста с
синдромом аутизма
Пояснительная записка Дети младшего школьного возраста, поступающие в школу, изменяют характер взаимоотношений с окружающими людьми, причем довольно существенно. Прежде всего, значительно увеличивается время, отводимое на общение. Теперь большую часть дня дети проводят в контактах с окружающими люд ...
Личностно-ориентированный подход в экологическом воспитании дошкольников
Чтобы развитие мышления ребенка при ознакомлении с природой достигло, возможно, более высокого уровня, необходимо целенаправленное руководство воспитателя этим процессом. Воспитатель должен уметь правильно отобрать познавательный материал и продумать методы и приемы, с помощью которых он сможет луч ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.