Изучение основных элементарных функций в школьном курсе математики

В результате изучения курса математики учащиеся должны:

понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее в тексте, в речи учителя, в формулировке задач;

находить значения функции, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу;

находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения;

строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции;

интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа. Такое определение дает Ю.Н. Макарычев и др. в своем учебнике по алгебре в 7 классе, в параграфе 13.

И только после этого в следующем параграфе дается определение прямой пропорциональности. Перед тем как ввести определение предлагается задача об объеме железного бруска. Зависимость массы железного бруска от его объема является примером функции, которая задается формулой вида у=kх. И только затем дается определение. Обращается внимание на то, что прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула у=kх получается из формулы y=kx+b при b=0 и для того, чтобы построить график прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Целый параграф в данном учебнике отводится на изучение взаимного расположения графиков линейных функций. Графики двух линейных функций, заданных формулами вида y=kx+b, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

В отличие от учебника Ю.Н. Макарычева и др, в учебнике Ш. А. Алимова и др. понятие прямой пропорциональности вводится раньше линейной функции. Школьникам предлагается найти площадь треугольника, основание которого равно 3, а высота х. пусть искомая площадь будет у. Тогда ответ можно записать у=3х. если же основание треугольника равно k, тогда зависимость между высотой х и площадью у выражается формулой у=kх. Все первоначальные сведения о линейной функции вводятся на примере его частного случая у=kх. В отличии от Ю.Н. Макарычева и др, школьников уже в 7 классе знакомят с понятием обратной пропорциональности. Как пример приводится зависимость скорости от времени. Говорится о том, что плотность вещества при постоянной массе обратно пропорциональна его объему.

И только в следующем параграфе дается определение линейной функции в общем виде. Школьникам объясняется, что график функции y=kx+b получается сдвигом графика функции y=kx на b единиц вдоль оси ординат. Графики данных функций параллельны.

В учебнике А.Г. Мордковича понятие «Линейная функция» вводится совсем иначе. Поскольку определение функции будет дано только в 9 классе, изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция» - первой темы, связанной с понятием функции. Первой (в §28) изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными». Рассматриваются задания следующего типа:

- найти какое либо решение уравнения 2х+3у=5;

- найти решение уравнения 2х+3у=5, зная, что х=2, зная что у=0, и т.п.;