Изучение основных элементарных функций в школьном курсе математики

Учащимся предстоит овладеть такими свойствами, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.

В учебнике Макарычева данная функция вводится в 8 классе. На изучение данной функции отводится только § 8 из третьей главы. Параграф начинается с примера о площади прямоугольника, благодаря чему учащихся подводят к определению обратной пропорциональности. Далее приводится пример построения графика функции при k>0. Обращается внимание на то, что при х=0 выражение смысла не имеет. Затем для сравнения строится второй график при k отрицательном. И в конце параграфа дается определение графика обратной функции.

В учебниках мордковича обратная функция изучается в 8 классе вместе с функцией y=x2. И вводится точно так же как в учебнике Макарычева.

В учебниках Алимова со степенной функцией ученики встречаются в 9 классе.

С функциями у=х и у=х2 учащиеся познакомились, и им объясняется что эти функции – частный случай степенной функции у=хr, где r –заданное число (причем как целое, так и дробное). После чего формулируются свойства данной функции в зависимости r, которое может быть как положительным, так и отрицательным.

В учебниках Макарычева с функцией у=хr учащиеся сталкиваются тоже только в 9 классе, В §22 рассматривается только натуральный показатель. При формулировке свойств, берется два случая, когда показатель степени четный и когда нечетный.

С дробным показателем рассматривается единственная функция в 8 классе у=. Вводится она на примере площади, что для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой а=. Далее строится график данной функции, с помощью таблицы. И в конце параграфа формулируются некоторые свойства функции.

В учебниках Мордковича функция у= вводится в 8 классе, на основе функции затем даются свойства квадратных корней. То есть, то, что в 8 классе учащихся знакомят с данной функцией обосновано методически.

Знакомство же со степенной функцией происходит лишь в 11 классе. Первой функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится . Ей посвящен §40. Дело в том, что в предыдущем параграфе введен п-ый корень из действительного числа, следовательно, необходимо подумать о графике и свойствах функции . Параграф начинается с рассмотрения уже известной функции когда п=2. На основе сравнения графика данной функции с графиком функции у=х2 вводится понятие симметричной функции. Формулируется теорема:

Точки М(а;ь) и Р(ь;а) симметричны относительно прямой у=х.

После чего идет доказательство теоремы

Формулируются свойства функции . В учебниках Мордковича помимо тех свойств, которые изучаются у Алимова и Макарычева, рассматривается выпуклость и вогнутость графика функции.

И наконец, §44 посвящен уже степенной функции вида у=хr, где r – любое действительное число. Основная цель этого параграфа – добиться того, чтобы учащиеся четко представляли себе эскиз графика степенной функции у=хr для любого рационального показателя r и знали свойства степенной функции.

При формулировке свойств рассматривается три случая: степень больше единицы, степень больше нуля, но меньше единицы и отрицательная степень.

В этом же параграфе идет речь о дифференцировании и интегрировании степенной функции. Повторяется материал 10 класса: составление уравнения касательной, исследование функций на монотонность и экстремумы, построение графиков функций, отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной, вычисление площади плоских фигур.