Изучение основных элементарных функций в школьном курсе математики

Во втором замечании автор говорит, что не рассматривается показательная функция с основанием а=1.

В учебнике Алимова с логарифмической функцией учащиеся впервые сталкиваются в 10 классе.

Основная цель – познакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.

До введения понятия логарифмической функции формируется понятие логарифма числа, изучаются свойства логарифмов.

§6 начинается с определения логарифмической функции. После чего формулируются свойства данной функции. Аналитическое обоснование свойств функции от всех учащихся не требуется.

В конце параграфа дается теорема:

если logax1=logax2, где a>0, a¹1, x1>0, x2>0 то x1=x2.

В учебнике Колмогорова логарифмическая функция вводится 11 классе. Логарифмическая функция, как и показательная, не может впервые вводится с помощью формулы (как это делается в учебнике Алимова). Причина этого в том, что в курсе алгебры еще не введено понятие логарифма числа. Поэтому функция вводит, как обратную к показательной функции f(x)=ax , хÎR. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. (Причем у Алимова понятие обратной функции вводится после введения логарифмической функции.) В отличии от учебника Алимова у Колмогорова не сформулировано свойство о положительных и отрицательных значениях х.

В учебнике Мордковича понятие логарифма в §48 вводится при помощи графических соображений. Предлагается одновременно рассмотреть две функции и . Делается наблюдение, что данные графики симметричны относительно прямой у=х. После чего дается определение логарифмической кривой.

При формулировке свойств рассматривается два случая, когда основание больше 1 и когда основание больше нуля, но меньше единицы. Кроме тех свойств, которые перечислены в учебниках Алимова и Мордковича здесь рассматриваются свойства выпуклости, непрерывности, ограниченности, четности, наибольшего или наименьшего занчения.

В 11 классе в учебнике Алимова изучаются свойства и графики функций y=cosx, y=sinx, y=tgx. Обратные тригонометрические функции.

Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики.

Первой тригонометрической функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится функция y=cosx, в §19.

Изучение данных функций начинается с повторения определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла которые были введены в 9 классе.

Так как функция y=cosx периодична с периодом 2p, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2p. Кроме того достаточно построить ее график на отрезке 0£х£p, а затем симметрично отразить относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, доказывается, что функция y=cosx убывает на отрезке 0£х£p. Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую прямую.

После построения формулируются основные свойства функции y=cosx.

В §20 вводится функция y=sinx. Для построения функции используют формулу:

.

Эта формула показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на

Затем формулируются свойства функции y=sinx.

В §21 изучается функция y=tgx.

Построение графика функции тангенс, как и косинус, начинается с исследования. Сначала график строится на промежутке , а затем распространяется на всю числовую прямую. Для этого доказывается, что функция y=tgx возрастает на промежутке . Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на всю числовую прямую.