Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

№907. Как расположен в координатной плоскости xOy график линейной функции

y = kx + m, если известно, что:

а) k > 0, m = 0;б) k < 0, m = 0?

В данном случае приведены несколько заданий с параметрами в главе «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», например задания:

№ 1075. Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 8y = 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:

а) (2;1);б) (-3;-2).

№ 1076. Дана система уравнений ,

Известно, что пара чисел (5;6) является ее решением. Найдите значения a и b.

8 класс

В учебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительно простые задания № 483 - № 488, связанные с графиком квадратичной функции. Например:

№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x2+4x+c пересекает ось ординат в точке А(0;2).

Далее следует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 - № 503). Например:

№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А(1;-2) является вершиной параболы y=x2+bx+c?

После данной темы рассмтривается графическое решение квадратного уравнения, и даются упражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 - № 522). Например:

№ 518. При каком значении p уравнение x2-2x+1=p имеет один корень?

№ 522. При каких значениях p уравнение x2+6x+8=p:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Считаю, что одним из заданий с параметром может служить следующее задание, которое способствует навыку нахождения множества допустимых значений параметра (или переменной).

№ 543. При каких значениях а имеет смысл выражение:

а) ;б) ;в) -; г) ?

В главе 4 «Квадратные уравнения» понятие параметра впервые появляется в условии заданий №792-795. Например:

№ 793. При каких значениях параметра p уравнение (2p - 3)x2 + (3p - 6)x +p2 - 9 = 0 является:

а) приведенным квадратным уравнением;

б) неполным неприведенным квадратным уравнением;

в) неполным приведенным квадратным уравнением;

г) линейным уравнением?

Затем в §20 «Формулы корней квадратного уравнения» в теоретической части дается определение параметра и уравнения с параметром на примере следующего уравнения: x2 - (2p + 1)x + (p2 + p - 2) =0.

Это уравнение отличается от всех рассмотренных до этих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения и считаются уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) p входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.

Когда учащиеся решают квадратные уравнения с вычислением дискриминанта, им предлагаются упражнения 820, 821, 838 - 841. Например:

№ 838. ИЗ данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:

а) x2 + px = 0; в) x2 + px + 5 = 0;

б) x2 - px - 5 = 0г) px2 - 2 = 0.

Эти задания сопровождаются заданиями на доказательство (№ 821, 842), например:

№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x2 - px + p - 2 = 0 имело бы только один корень.

При прохождении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом решается упражнение:

№ 953. Решите уравнение:

а) x2 - 2(a - 1)x + a2 - 2a - 3 = 0

б) x2 + 2(a + 1)x + a2 + 2a - 8

Когда учащися знакомятся с теоремой Виета, выполняются упражнения № 971 и № 972.