Педагогика и образование » Методика обучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы » Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Страница 6

Найдем дискриминант:

D = (2p + 1)2 - 4(p2 + p - 2) = (4p2 + 4p + 1) - (4p2 + 4p - 8) = 9

Далее

Ответ: p + 2; p - 1.

В учебнике для углубленного изучения после этого решения помещено следующее замечание.

Данное уравнение можно решить устно, если заметить, что p2 + p - 2 = (p + 2)(p - 1). Переписав уравнение в виде x2 - (2p + 1)x + (p + 2)(p - 1) = 0, легко сообразить (с помощью теоремы Виета), что его корнями служат числа p + 2 и p - 1.

Пример 2. Решить уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0.

Решение.

Это также уравнение с параметром p, но в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формуле корней квадратного уравнения. Дело в том, что про заданное уравнение мы пока не можем сказать, является ли оно квадратным.

Если p = 0, то получим линейное уравнение x-1=0, откуда получаем x = 1.

Если p ≠ 0, тогда можно применить формулы корней квадратного уравнения: D = (1 - p)2 - 4p(-1) = 1 - 2p + p2 +4p = (p + 1)2.

Ответ: если p = 0, то x = 1; если p ≠ 0, то x1 = 1, x2 = -1/p.

В учебнике после этого решения помещено замечание, объясняющее замену выражения выражением p + 1, вместо использования знака модуля |p + 1|. Вторым замечанием к решению этого примера является следующее. Квадратное уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0 можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно заметить, что значение x1 = 1 удовлетворяет уравнению (при x = 1 получаем p + (1 - p) - 1 = 0 - верное равенство), и воспользоваться теоремой Виета, откуда сразу находится второй корень x2 = -1/p.

Как видно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.

Затем в рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра, чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; при одних значениях параметра корни находятся по одним формулам, при иных - по другим. Например, при решении примера 2 при p = 0 уравнение решалось как линейное (по одной формуле), а при p ≠ 0 - как квадратное (по другой формуле).

Далее демонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.

Пример 3. Решить уравнение с параметром а: 2a(a - 2)x = a - 2.

Решение. Обычно корень уравнения bx = c мы легко находим по формуле x = c/b, так как в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при x равен 2a(a - 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:

1) Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 - это уравнение не имеет корней.

2) Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 - этому уравнению удовлетворяют любые значения х.

3) Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, и следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Еще по теме:

Технология организации обучения информатике учащихся 5–6 классов с помощью игр
В данной главе рассматривается технология организации обучения информатике учащихся с помощью игр, основные игровые элементы, применяемые н ...

Коррекционно-развивающая работа по преодолению нарушения письма у учащихся 4-го класса общеобразовательной школы
Формирующий этап эксперимента длился с ноября 2006г. по апрель 2007г. За этот период было проведено 24 занятия в 4 «в» классе. Занятия пров ...

Особенности и качества научного мышления учащихся
Рассмотрим основные особенности научного мышления учащихся. Первая особенность мышления – его опосредованный характер. То, что человек не м ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.directeducation.ru