Найдем дискриминант:
D = (2p + 1)2 - 4(p2 + p - 2) = (4p2 + 4p + 1) - (4p2 + 4p - 8) = 9
Далее
Ответ: p + 2; p - 1.
В учебнике для углубленного изучения после этого решения помещено следующее замечание.
Данное уравнение можно решить устно, если заметить, что p2 + p - 2 = (p + 2)(p - 1). Переписав уравнение в виде x2 - (2p + 1)x + (p + 2)(p - 1) = 0, легко сообразить (с помощью теоремы Виета), что его корнями служат числа p + 2 и p - 1.
Пример 2. Решить уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0.
Решение.
Это также уравнение с параметром p, но в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формуле корней квадратного уравнения. Дело в том, что про заданное уравнение мы пока не можем сказать, является ли оно квадратным.
Если p = 0, то получим линейное уравнение x-1=0, откуда получаем x = 1.
Если p ≠ 0, тогда можно применить формулы корней квадратного уравнения: D = (1 - p)2 - 4p(-1) = 1 - 2p + p2 +4p = (p + 1)2.
Ответ: если p = 0, то x = 1; если p ≠ 0, то x1 = 1, x2 = -1/p.
В учебнике после этого решения помещено замечание, объясняющее замену выражения выражением p + 1, вместо использования знака модуля |p + 1|. Вторым замечанием к решению этого примера является следующее. Квадратное уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0 можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно заметить, что значение x1 = 1 удовлетворяет уравнению (при x = 1 получаем p + (1 - p) - 1 = 0 - верное равенство), и воспользоваться теоремой Виета, откуда сразу находится второй корень x2 = -1/p.
Как видно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.
Затем в рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра, чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; при одних значениях параметра корни находятся по одним формулам, при иных - по другим. Например, при решении примера 2 при p = 0 уравнение решалось как линейное (по одной формуле), а при p ≠ 0 - как квадратное (по другой формуле).
Далее демонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.
Пример 3. Решить уравнение с параметром а: 2a(a - 2)x = a - 2.
Решение. Обычно корень уравнения bx = c мы легко находим по формуле x = c/b, так как в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при x равен 2a(a - 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:
1) Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 - это уравнение не имеет корней.
2) Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 - этому уравнению удовлетворяют любые значения х.
3) Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, и следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.
Европейский гуманизм и развитие
теории высшего образования
Говоря о теории образования применительно к периоду нового времени (XVI–XVIII вв.), следует иметь в виду, что идейно-философский и культурно-исторический контекст этого времени определяется такими эпохальными событиями, как Возрождение, Реформация, Контрреформация, Просвещение. Меритократическая те ...
Методика восстановления речи при семантической афазии по М. К. Бурлаковой
М. К. Бурлакова отмечает, что для семантической афазии характерно как нарушение произвольного нахождения названий предметов, бедность словаря и синтаксических средств выражения мысли, так и трудности в понимании сложных логико-грамматических конструкций. Эти больные достаточно активны в процессе пр ...
Понятие самостоятельности в психолого-педагогических исследованиях
Детская самостоятельность в последнее время все чаще становится объектом повышенного внимания ученых, преподавателей и педагогов. Это связано не столько с реализацией личностно-ориентированного и деятельностного подхода к развитию, воспитанию и обучению детей, сколько с необходимостью решения пробл ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.