Педагогика и образование » Методика обучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы » Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

Страница 6

Найдем дискриминант:

D = (2p + 1)2 - 4(p2 + p - 2) = (4p2 + 4p + 1) - (4p2 + 4p - 8) = 9

Далее

Ответ: p + 2; p - 1.

В учебнике для углубленного изучения после этого решения помещено следующее замечание.

Данное уравнение можно решить устно, если заметить, что p2 + p - 2 = (p + 2)(p - 1). Переписав уравнение в виде x2 - (2p + 1)x + (p + 2)(p - 1) = 0, легко сообразить (с помощью теоремы Виета), что его корнями служат числа p + 2 и p - 1.

Пример 2. Решить уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0.

Решение.

Это также уравнение с параметром p, но в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формуле корней квадратного уравнения. Дело в том, что про заданное уравнение мы пока не можем сказать, является ли оно квадратным.

Если p = 0, то получим линейное уравнение x-1=0, откуда получаем x = 1.

Если p ≠ 0, тогда можно применить формулы корней квадратного уравнения: D = (1 - p)2 - 4p(-1) = 1 - 2p + p2 +4p = (p + 1)2.

Ответ: если p = 0, то x = 1; если p ≠ 0, то x1 = 1, x2 = -1/p.

В учебнике после этого решения помещено замечание, объясняющее замену выражения выражением p + 1, вместо использования знака модуля |p + 1|. Вторым замечанием к решению этого примера является следующее. Квадратное уравнение px2 + (1 - p)x - 1 = 0 можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно заметить, что значение x1 = 1 удовлетворяет уравнению (при x = 1 получаем p + (1 - p) - 1 = 0 - верное равенство), и воспользоваться теоремой Виета, откуда сразу находится второй корень x2 = -1/p.

Как видно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.

Затем в рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра, чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; при одних значениях параметра корни находятся по одним формулам, при иных - по другим. Например, при решении примера 2 при p = 0 уравнение решалось как линейное (по одной формуле), а при p ≠ 0 - как квадратное (по другой формуле).

Далее демонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.

Пример 3. Решить уравнение с параметром а: 2a(a - 2)x = a - 2.

Решение. Обычно корень уравнения bx = c мы легко находим по формуле x = c/b, так как в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при x равен 2a(a - 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:

1) Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 - это уравнение не имеет корней.

2) Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 - этому уравнению удовлетворяют любые значения х.

3) Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, и следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Еще по теме:

Модульный принцип построения учебного плана
Учебный план является основным документом процесса обучения. Но учебный план не является только набором дисциплин, которые должны быть изучены за определенный отрезок времени. Все учебные дисциплины, входящие в план, связаны между собой, то есть в более поздних по времени изучения дисциплинах испол ...

Ознакомление старших дошкольников с произведениями С.А. Есенина
На данном этапе было выделено две группы испытуемых: экспериментальная и контрольная группы. В экспериментальной группе был проведен составленный нами комплекс упражнений направленных на развитие восприятия лирических произведений у детей старшего дошкольного возраста. В занятиях использовались раз ...

Дифференцированный логопедический массаж при дизартрии, предлагаемый Архиповой Е.Ф
Комплекс упражнений логопедического массажа при ригидном синдроме. Комплекс упражнений логопедического массажа при ригидном синдроме проводится с целью обеспечения успокаивающего действия, приведения мышц в состояние полного покоя. Перед проведением массажа ребенка необходимо уложить или усадить в ...

Педагогика как наука


Педагогика как наука

Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved 0.0373