Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича

№ 971. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x2 + (p2 + 4p - 5)x - p = 0 равно нулю?

В упражнениях № 999 - 1005 помещены похожие задачи:

№ 1000. Дано уравнение x2 - (p + 1)x + (2p2 + - 9p - 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.

Заметим, что задания с параметрами встречаются и в помещенной в учебник контрольной работе №4, а именно:

докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение x2 - 2kx + k - 3 = 0 имеет только один корень.

дано уравнение x2 + (p2 - 3p - 11)x + 6p = 0. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра p и корни уравнения.

В §35. «Решение квадратных неравенств» помещены упражнения № 1360 - 1365 с заданием решить квадратное уравнение, которое сводится к решению неравенств.

№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x2 - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

А в № 1366 и № 1367 задания связаны непосредственно с решением неравенств.

№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство

(x2 - 2)(x - p) < 0 имеет три целочисленных решения?

9 класс

В учебнике для 9 класса упражнения с параметрами приводятся сначала в § 1 «Линейные и квадратные неравенства», в № 11, 17 - 19.

№ 11. При каких значениях параметра p квадратное уравнение

3x2 - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

В § 2 «Рациональные неравенства» заданием с параметром является задание № 50: Найдите такое целое зачение параметра p, при котором множество решений неравенства x(x + 2)(p - x) ≥ 0 содержит:

а) два целых числа; в) три целых числа;

б) четыре целых числа;г) пять целых чисел.

В § 2 «системы рациональных неравенств» задачами с параметрами являются задачи № 85 - 87.

№ 86. Укажите все значения параметра p, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) (5; +∞); б) [3; +∞).

Последний раз задания с параметрами встречаются в главе «Системы уравнений» (№ 117 - 119).

№ 118. При каком значении параметра p система уравнений

имеет одно решение?[15][16][17]

В данном комплекте учебников и задачников достаточно хорошо и полно подобраны задачи с параметрами в каждом классе основной школы. В учебнике 7 класса большое внимание уделяется пропепедевтике уравнений с параметрами. В учебнике для 8 класса при прохождении темы квадратные уравнения» дается достаточно ясное определение параметра и уравнения с параметром.

Подбор задач с параметрами по уравнениям и неравенствам для классов с углубленным изучением математики в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 8»

Шестая глава данного учебника «Алгебраические уравнения» посвящена решению различных видов уравнений. Последним параграфом в этой главе является § 41 «Задачи с параметрами», в коором подходят к понятию параметра, решя вначале два примера, аналогично тому, как вводится понятие параметра в учебнике для 8 класса на стр. 28.

Пример 1. Решить уравнение x2 - (2p + 1)x + (p2 +p - 2) = 0.

Решение.

В данном квадратном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.