Методические разработки уроков по теме «Обратные тригонометрические функции»

Соотношение x = sin y позволяет с помощью таблиц найти как x по данной величине y, так и y по данной величине x (не превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи y = (arcsin читается как «арксинус»). Например, вместо 1/2 = =sin 30° можно написать 30° = arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут π/6= arcsin (1/2).

б) Открытие нового знания происходит в виде лекции, где ученику будут представлены основные положения по данной теме.

Необходимо сказать учащимся, что основные моменты следует записать.

Рассматривается приведенный ниже материал.

Рассмотрим функцию y = sin х, которая на отрезке [–π/2;π/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [–1; 1]. Значит, на отрезке [–π/2; π/2] определена функция, обратная функции y = sin x.

Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y = arcsin x. Введем определение арксинуса числа а.

Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [–π/2;π/2]; его обозначают arcsin а.

Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ≤ 1; –π/2 ≤ arcsin а ≤ π/2. Например, , так как sin и [–π/2; π/2]; arcsin , так как sin и [–π/2; π/2].

Функция y = arcsin х (рис. 13) определена на отрезке [–1; 1], областью ее значений является отрезок [–π/2;π/2]. На отрезке [– 1; 1] функция y = arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от –π/2 до π/2 (это следует из того, что функция y = sin x на отрезке [–π/2; π/2] непрерывна и монотонно возрастает).

Рис. 13

Наибольшее значение она принимает при x=1: arcsin 1 = π/2, а наименьшее – при х = –1: arcsin (–1) = –π/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].

Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (–х) = –arcsin х при любом х [–1; 1].

Действительно, по определению, если |x| ≤ 1, имеем: –π/2≤ arcsin x ≤π/2.

Таким образом, углы arcsin (–х) и – arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [–π/2; π/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(–х)) = – х (по определению); поскольку функция y = sin x нечетная, то sin (–arcsin х) = – sin (arcsin x) = – х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [–π/2; π/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin(–х) = – arcsin х. Значит, функция y = arcsin x – нечетная. График функции y = arcsin x симметричен относительно начала координат.

Итак, искомый график уже построен на отрезке длины 2π. Но искомая функция имеет период 2π, поэтому график с любого отрезка длины 2π можно периодически продолжить на все значения х (см. рис. 14).

Рис. 14

Областью значений функции y = cos x является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает. Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y = cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos x.