Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку
; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a) = a, |а|1; 0 ≤ arccos a ≤ π.
Например, arccos, так как cos
и
; arccos
, так как cos
и
.
Функция y=arccos x (рис. 15) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок
. На отрезке
функция y = arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y = cos х – непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке
); на концах отрезка она достигает экстремальных значений: arccos(–1)= π, arccos 1 = 0. Отметим, что arccos 0 =
.
График функции y = arccos x (см. рис. 15) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y = x .
Рис. 15
Покажем, что имеет место равенство arccos(–x) = π – arccos x.
В самом деле, по определению 0 ≤ arccos х ≤ π. Умножая на (–1) все части последнего двойного неравенства, получаем –π ≤ arcсos х ≤ 0. Прибавляя π ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0 ≤ π – arccos х ≤ π. Таким образом, значения углов arccos(–х) и π–arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке
косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(–х) и π–arccos х. По определению cos (arc – cos x)= – x, по формулам приведения и по определению cos (π–arccos х) =-cos (arccos х) = – х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
При выполняется равенство arccos (cos x) = х. Так как функция четна, то мы можем построить ее график на отрезке
. Затем воспользуемся периодичностью функции с периодом 2π. График функции изображен на рисунке 16.
Рис. 16
III. Домашнее задание.
Рассмотреть и проработать основные положения по изученному материалу, а именно:
– выучить определения функций арксинус и арккосинус, их свойства, вид графиков;
– изучить способ вычисления значений аркфункций.
IV. Подведение итогов.
Итак, давайте вспомним, что сегодня мы узнали (учитель с помощью учащихся):
– что такое система арксинус, арккосинус;
– какими свойствами они обладают;
– как можно найти значения аркфункции и построить ее график.
Конспект урока по алгебре №2 (10 класс)
Тема урока:
Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.
Тип урока: закрепление изученного материала.
Методы обучения: наглядный, словесный, практический.
Средства обучения: доска, конспект лекций, задачник, методические указания.
Цели урока:
1. Образовательная:
– закрепить тему «Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус»;
– выработать умения производить различные действия над арксинусом и арккосинусом, строить графики.
Методика системного анализа
Методика системного анализа разрабатывается и применяется, если у лица, принимающего решение (ЛПР), нет необходимых сведений об определенной ситуации, позволяющих ее формализовать и найти решение задачи. В этой ситуации помогает представление объекта в виде системы, привлечение экспертов в различны ...
Понятия и сущность оценки
результатов обучения в компетентностно-ориентированном образовании
В связи с тем, что в сентябре 2003 года Россия присоединилась к Болонской декларации, направленность системы отечественного образования изменилась. Был взят курс на модернизацию этой важной для общества системы. На протяжении большей части советского периода российского образования его компетентнос ...
Сущность и природа нравственности
В кратком словаре по философии понятие нравственности приравнено к понятию мораль. «Мораль (латинское mores-нравы) - нормы, принципы, правила поведения людей, а так же само человеческое поведение (мотивы поступков, результаты деятельности), чувства, суждения, в которых выражается нормативная регуля ...
Обучение было и всегда будет, пока живет человечество. Можно сказать, что подготовка молодого поколения к участию в жизни общества путем передачи социального опыта есть неотъемлемая общественная функция во все времена и у всех народов.