Методические разработки уроков по теме «Обратные тригонометрические функции»

С учетом методических рекомендаций, приведенных выше, и на основании учебников для школ с углубленным изучением математики были разработаны уроки по теме «Обратные тригонометрические функции».

Конспект урока по алгебре №1 (10 класс)

Урок – лекция

Тема урока:

Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: доска, конспект лекций, задачник, методические указания.

Цели урока:

– «открыть», что такое обратные тригонометрические функции;

учить находить значения аркфункций;

познакомиться со свойствами арксинуса и арккосинуса, их графиками;

– развивать интерес к математике;

воспитывать самостоятельность и аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент:

– приветствие класса;

– проверить готовность класса к уроку;

– сообщить тему урока и цели.

II. Изучение нового материала.

а) Учитель, для того, чтобы заинтересовать учащихся новым материалом, подводит учащихся к изучению обратных тригонометрических функций, начиная с актуализации знаний о взаимно однозначных отображениях и существовании обратной функции (сначала на примере более простых функций).

Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому соответствует единственный. В этом случае обратное соотношение между Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f –1. Отметим, что D(f)=E(f –1)=X; E(f)=D(f –1)=Y.

x1 y1

x2 y2

x3 y3

Рис. 12

Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f).

Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует, если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87 гг. Для городских школ это невозможно.

Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f –1 с областью определения D(f –1)=R и множеством значений E(f –1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение. Получим . В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции – через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде . Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f–1(x) симметричны относительно прямой y=x – биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует обратная функция f –1 c областью определения D(f –1)= и множеством значений E(f –1)= . Для записи обратной функции решим уравнение y= x2 при условии х ≥ 0. Получим (арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается формулой.